C++ 数学库函数 完全指南

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int main(){
    cout << round(4.3) << endl;    // 4  ：四舍五入，.3 舍去
    cout << floor(-5.8) << endl;   // -6 ：向下取整，取更小的整数
    cout << ceil(5.1) << endl;     // 6  ：向上取整，有非零小数就进 1
    return 0;
}
// 实际输出：
// 4
// -6
// 6

答案：4；-6；6。

思路：三个函数都改不了"方向"，只是名字不同：round 是四舍五入，看小数第一位；floor 是"地板"，永远往数轴左边（更小）找整数；ceil 是"天花板"，永远往数轴右边（更大）找整数。负数是分水岭——floor(-5.8) 往更小走得到 -6，而 ceil(5.1) 往更大走得到 6。

考点：round / floor / ceil 三个取整函数的语义差别，对应本讲"取整函数"一节。记忆法：floor 地板在下、ceil 天花板在上，别被正负号带偏。

易错：① 负数取整出错，把 floor(-5.8) 写成 -5（那是 ceil 的结果）；② 认为 ceil(5.1) 还是 5，忘了"只要有非零小数就进 1"；③ round 与 floor 混用，round(4.3) 写成 5；④ 忘了 #include <cmath>，编译时报"找不到标识符"。

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstdlib>              // abs 的整数版本在这里
using namespace std;
int main(){
    cout << abs(-7) << " ";     // 7   ：整数绝对值
    cout << fabs(-2.5) << endl; // 2.5 ：浮点数绝对值
    return 0;
}
// 实际输出：7 2.5

答案：7 2.5。

思路：两个函数干的是同一件事——把负号抹掉，区别只在参数类型。abs 面向整数，返回整数 7；fabs 面向浮点数（float/double），返回 2.5。输出 2.5 而不是 2，正是因为 fabs 保留小数部分。

考点：abs 与 fabs 的参数类型与返回值，对应本讲"绝对值函数"一节。一句话：整数用 abs，小数用 fabs，别用反。

易错：① 用 abs 处理小数导致精度丢失，abs(-2.5) 得到 2；② 误以为 fabs 会四舍五入成 3；③ 只 #include <cmath> 就想直接用整数版 abs，某些编译器会报错——保险做法是同时包含 <cstdlib>；④ 忘了绝对值只是"抹负号"，fabs(2.5) 仍然是 2.5，不是 -2.5。

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int main(){
    cout << pow(3, 4) << " ";      // 81 ：3^4 = 3 × 3 × 3 × 3
    cout << exp(0) << " ";         // 1  ：e^0 = 1（任何数的 0 次方都是 1）
    cout << sqrt(0.25) << endl;    // 0.5：√0.25
    return 0;
}
// 实际输出：81 1 0.5

答案：81；1；0.5。

思路：pow(底数, 指数) 就是乘方，3⁴ = 3×3×3×3 = 81。exp 是以自然常数 e 为底的指数函数，e⁰ = 1——任何非零数的 0 次方都是 1，别被 e 吓到。sqrt 是开平方，0.5 × 0.5 = 0.25，所以 √0.25 = 0.5。

考点：幂函数 pow、指数函数 exp、平方根 sqrt 的用法与常见特殊值，对应本讲"幂与开方"一节。这里也是海伦公式、两点间距离等题目的基础。

易错：① 把 pow 的返回类型当整数——cout << pow(3, 4) 输出 81（因为结果显示为整数形式），但它的真实类型是 double，做整数运算时要当心精度；② 负指数理解错，以为 pow(2, -3) = -8，其实是 1/8 = 0.125；③ sqrt 传负数，如 sqrt(-1)，会得到 nan（非数字）；④ 把 exp(0) 算成 0或 e。

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
using namespace std;
int main(){
    cout << floor(-3.9) << " ";     // -4：向更小方向取整
    cout << ceil(-3.1) << " ";      // -3：向更大方向取整
    cout << round(-2.5) << " ";     // -3：.5 时远离 0 进位
    cout << abs(int(-15)) << endl;  // 15：整数绝对值
    return 0;
}
// 实际输出：-4 -3 -3 15

答案：-4 -3 -3 15。

思路：逐个拆开算，重点盯负数。floor(-3.9) 找"地板"，-3.9 左边最近的整数是 -4；ceil(-3.1) 找"天花板"，-3.1 右边最近的整数是 -3。round(-2.5) 是 .5 的临界情况，C++ 规定遇到 .5 时"远离 0"进位，所以 -2.5 变成 -3（不是 -2）。最后 abs(int(-15)) 把整数 -15 的负号去掉，得 15。

考点：取整函数在负数上的方向，以及 round 的 .5 规则，对应本讲"取整函数"一节。round 遇 .5 远离 0 是本题最容易丢分的地方，和小时候"四舍五入"的直觉有细微差别。

易错：① 把 round(-2.5) 算成 -2（按"银行家舍入"或凭直觉往近的偶数走），C++ 的 round 是 -3；② 负数 floor / ceil 方向搞反，floor(-3.9) 写成 -3；③ 把 abs 的参数写成 int(-15) 之外的形式，或者直接用 fabs 输出 15.0；④ 全部函数都忘了包含 <cmath>，直接用 floor 会编译报错。

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int main()
{
    double a, b, c;
    cin >> a >> b >> c;
    double s = (a + b + c) / 2.0;
    double area = sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c));
    cout << area << endl;
    return 0;
}

思路：先求出半周长 s，再代入海伦公式开平方得到面积。

易错：半周长用 2 做整数除法（要写成 2.0）；三边构不成三角形时括号里会出现负数，sqrt 会算出 nan。

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int main(){
    const double PI = 3.14159265358979;
    cout << sin(0) << " ";        // 0：sin(0°) = 0
    cout << cos(0) << " ";        // 1：cos(0°) = 1
    cout << tan(PI / 4) << endl;  // 1：tan(45°) = 1
    return 0;
}
// 实际输出：0 1 1

答案：0 1 1。

思路：三角函数的角度要先换成弧度：180° 对应 π，所以 45° 就是 π/4。sin(0) = 0、cos(0) = 1 这两个直接背。tan(π/4) 用同一个直角三角形的"对边/邻边"理解，45° 时对边和邻边相等，比值是 1。（计算机里的 tan(π/4) 其实是 0.999999999999998，cout 默认取 6 位有效数字，四舍五入后显示 1。）

考点：sin / cos / tan 的参数是弧度制，对应本讲"三角函数"一节。常用特殊值：sin 30° = 0.5，cos 60° = 0.5，tan 45° = 1，sin 90° = 1，cos 90° = 0，这些都要背下来。

易错：① 直接把角度写进去，如 tan(45)，得到的是 45 弧度的值（约 1.62），不是 1——必须写成 tan(45 * PI / 180) 或 tan(PI / 4)；② 答成"0 1 0.999999..."，其实 cout 默认精度就显示 1；③ 把 π 写成 3.14，精度不够会让计算结果出现可见误差；④ 忘了三角函数属于 <cmath> 需要包含头文件。

考点：pow 的指数为负数表示取倒数，2 的 -3 次方等于 1/8。

易错：以为负指数就是把结果变成负数，答成 -8。

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    double sum = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        sum += log10(i);
    int digits = int(floor(sum)) + 1;
    cout << digits << endl;
    return 0;
}

思路：把 log10(1) 到 log10(n) 逐项累加得到 log10(n!)，再向下取整加 1 就是位数。

易错：直接算 n! 会溢出；忘记最后加 1，得到的是位数减一。

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int main()
{
    const double PI = 3.14159265358979;
    double a, b;
    cin >> a >> b;
    double c = sqrt(a * a + b * b);
    double angleA = atan(b / a) * 180.0 / PI;
    double angleB = 90.0 - angleA;
    cout << "斜边: " << c << endl;
    cout << "角A: " << angleA << "°" << endl;
    cout << "角B: " << angleB << "°" << endl;
    cout << "面积: " << a * b / 2 << endl;
    cout << "周长: " << a + b + c << endl;
    return 0;
}

思路：先用勾股定理求出斜边，再用反三角函数求角并乘 180/PI 换算成度。

易错：角度忘记乘 180/PI 换算成度；PI 取值精度太低会让结果出现偏差。

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int main()
{
    double x;
    cin >> x;
    int f = int(floor(x));
    int r = int(round(x));
    int c = int(ceil(x));
    int banker;
    double frac = x - f;
    if (frac == 0.5) {
        // 恰好 0.5，向偶数取整
        banker = (f % 2 == 0) ? f : f + 1;
    } else {
        banker = r;  // 不是 0.5，和普通四舍五入一样
    }
    cout << "floor: " << f << "  round: " << r
         << "  ceil: " << c << "  banker: " << banker << endl;
    return 0;
}

思路：先用 floor、round、ceil 分别取整，再对小数部分恰好是 0.5 的情况单独处理成最近的偶数。

易错：用 == 直接判断小数部分是否为 0.5，浮点误差可能判不出来；把「取最近偶数」写成普通四舍五入。