数及其运算
与进制转换

答案：B. 13

1×8 + 1×4 + 0×2 + 1×1 = 8+4+0+1 = 13

考点：二进制转十进制的通用方法是「按位权展开求和」：从右往左第 i 位（i 从 0 起）的权是 2ⁱ，把该位数字乘上权再累加。

易错：从左往右把最高位当成 2⁰ 起算，或直接把 1101 看成 1+1+0+1=3。

答案：A. (72)₈

58÷8=7余2，7÷8=0余7 → 逆序：72

考点：十进制转 R 进制的通用方法是「除 R 取余、结果逆序」，本题 R=8，每步留下的是低位。

易错：把余数按计算先后顺序正着连起来写成 27，忘记最后要逆序。

答案：B. -3

-11 ÷ 4 = -2（向零截断），余数 = -11 - (-2)×4 = -11+8 = -3

考点：C++ 的整数除法是「向零截断」，取模满足恒等式 a % b = a - (a / b) * b，因此余数的符号跟随被除数 a。

易错：套用数学上「余数非负」的模定义算成 1，或与 Python 中 -11 % 4 == 1 的结果混淆。

答案：B. √2

√2 是无理数，不能表示为两个整数之比。0.333...=1/3是有理数。

考点：有理数就是能写成两个整数之比的数（含整数、有限小数、无限循环小数），只有无限不循环小数才是无理数。

易错：看到 0.333... 后面带省略号就误判为无理数，其实它是循环小数、等于 1/3。

答案：B

2→0010, A→1010, F→1111 → 001010101111

考点：十六进制与二进制可以「一位换四位」直接转换：每个十六进制数字对应恰好 4 位二进制，逐位展开后拼接即可。

易错：把 A 记成 1011、F 记成 1110，或每位只写 3 位二进制导致位数错位。

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;

int main() {
    string s = "356";              // 待转换的八进制数
    int k = 8;                     // 原进制
    const char* digit = "0123456789ABCDEF";   // 16 进制数字表，10~15 写作 A~F

    // 第一步：k 进制 → 十进制，按权展开
    int dec = 0;
    for (char c : s)
        dec = dec * k + (c - '0');       // 每读一位就3
    cout << "(" << s << ")" << k << " = (" << dec << ")10" << endl;

    // 第二步：十进制 → 十六进制，8
    char buf[64];                  // 从低位到高位临时存放每一位
    int len = 0;
    int tmp = dec;
    while (tmp > 0) {
        buf[len++] = digit[tmp % 16];    // 取最低位
        tmp /= 16;                       // 去掉最低位
    }
    cout << "(";
    for (int i = len - 1; i >= 0; i--)   // 倒序输出，先出来的低位移到最后
        cout << buf[i];
    cout << ")16" << endl;               // 输出 (EE)16
    return 0;
}

答案：(356)₈ = (EE)₁₆。

思路：两种做法都对。① 快速法（八、十六都是二的幂）：八进制 1 位拆 3 位二进制，3→011、5→101、6→110，拼成 011101110；再从右往左每 4 位分一组：1110 1110 → E E。② 通用法（程序里的做法）：先按权展开把八进制变成十进制——(356)₈ = 3×64+5×8+6 = 238，再用"除 16 取余、结果倒序"把 238 变成十六进制，238÷16 余 14(E) → 商 14 ÷16 余 14(E) → 倒着读就是 EE。

考点：任意进制转换的两条路：k 进制 → 十进制用"按权展开"，十进制 → k 进制用"while 取余 + 数组倒序输出"；以及 2/8/16 之间"3 位 / 4 位分组"的快捷法。

易错：① 分组一定要从右往左，左边不够就补 0（这里刚好 9 位，补 1 个 0 成 011101110）；② 十六进制里 10~15 要写成 A~F，别直接写成 10、11；③ 别忘了倒序——除基取余先得到的是最低位。

答案：B. a % b

由恒等式 a/b*b + a%b == a，可得 a - a/b*b == a%b

考点：本质是整数除法的恒等式 a = (a / b) * b + a % b，移项即得 a - a / b * b 就是 a 除以 b 的余数。

易错：以为 a / b * b 等于 a 而选 0，忽略了整数除法会把余数直接舍掉。

答案：B. 255

8位全1 = (11111111)₂ = 2⁸-1 = 255

考点：n 位二进制共有 2ⁿ 个不同编码，无符号时从 0 开始编号，最大值是 2ⁿ-1。

易错：直接记成 2⁸=256，忘了编码从 0 起算，最大值应是 255。

答案：B. 25

25/3=8, 8*3=24, 25%3=1, 24+1=25。这就是恒等式 a/b*b+a%b==a。

考点：考查 / 与 % 的优先级相同、从左到右求值，以及恒等式 a / b * b + a % b == a 这一整数除法的基本性质。

易错：把 25 / 3 当作 8.33 带入浮点运算，或先算 25 % 3 改变求值顺序。

答案：A. (7E8)₁₆

2024÷16=126余8，126÷16=7余14(E)，7÷16=0余7 → 7E8

考点：十进制转十六进制同样用「除 16 取余、逆序排列」，只是余数 10~15 要写成 A~F。

易错：把余数 14 直接写成两位数字 14 而不是 E，或忘记把三组余数逆序。

答案：D. 8

设进制为R，则 (14)ᵣ = 1×R + 4 = R+4。又3×4=12，所以R+4=12，R=8。

考点：设进制为 R，把结果 (14)_R 按位权展开成 R + 4，与十进制下的乘积 12 建立等式解出 R。

易错：直接用 14 - 4 = 10 或 14 ÷ 4 得答案，忽略了结果本身也是 R 进制数。

答案：C

补码最高位为符号位，0表示正，1表示负。C说反了。

考点：补码规则：正数的补码与原码相同，负数的补码是「反码加 1」；最高位始终是符号位，0 表示正、1 表示负。

易错：把符号位约定记反（以为 1 表示正），或误认为补码最高位只是普通数据位。